لودفيغ بولتزمان فيزيائي نمساوي طوّر علم الميكانيكا الإحصائية في سبعينيات القرن التاسع عشر، وهو منهج يستخدم الإحصاء للتنبؤ بسلوك المادة عبر حركات وتصادمات أعداد هائلة من الجسيمات الدقيقة مثل الذرات والجزيئات. وقد تنبأت هذه المقاربة بنطاق من السرعات لجسيمات الغاز، وكانت في زمنه دليلاً مقنعًا على واقعية الذرات والجزيئات رغم الجدل الذي استمر أكثر من عشرين عامًا. وفي عام ١٨٧٧ ساعد نهجه الرياضي على تعريف الإنتروبيا بوصفها عشوائية جسيمات المادة ضمن الميكانيكا الإحصائية، وهي عنصر حاسم في القانون الثاني للديناميكا الحرارية.
أُنجزت دراسة السلوك الحرج للنموذج الكروي في الميكانيكا الإحصائية على نحوٍ كامل عندما تكون الأبعاد عددية حقيقية موجبة على نحوٍ اعتباطي، وتبيّن أن هذا السلوك يبقى واحداً في الأبعاد الأكبر من ٤. ويعني ذلك أن الخصائص الحرجة للنموذج يمكن تحديدها بدقة عبر مدى واسع من الأبعاد، مع ظهور تطابق في النتائج كلما تجاوزت الأبعاد الحدّ الرابع، وهو ما يمنح هذا النموذج أهمية خاصة في فهم الانتقالات الطورية في الأنظمة الإحصائية.
