آلة المزولة الشمسية: طور العلماء المسلمون المزولة الشمسية لتصبح أداة دقيقة لقياس الوقت نهاراً اعتماداً على ظل الشمس. واستفادوا من حساب المثلثات الكروية لتصحيح أخطائها، ووضعوا معادلات تربط بين زاوية الساعة وخط عرض المكان وزاوية ميل الظل، مما جعلها أكثر دقة من النماذج القديمة.

الساعة آلة لقياس الزمن وعرضه، تطورت من المزولة والساعة المائية والرملية إلى الساعات الميكانيكية والكهربائية والذرية والرقمية. تقوم أي ساعة على مصدر للطاقة وآلية لتنظيم الحركة ومؤشر يعرض الوقت، سواء كان عقرباً أو جرساً أو شاشة. أسهم النواس والنوابض والتروس وآليات الإفلات في رفع دقة الساعات الميكانيكية، ثم جاءت الكوارتز والدوائر الإلكترونية والبلورات السائلة لتجعل قياس الوقت أكثر دقة وانتشاراً. لم تعد الساعة أداة عملية فقط، بل أصبحت جزءاً من تنظيم الحياة الحديثة والزينة والعلوم والملاحة والصناعة.

آلة عرض الصور المتحركة جهاز يعرض سلسلة من الصور الثابتة بسرعة متتابعة على شاشة، فتبدو للعين كأنها حركة مستمرة. تعتمد الفكرة على مرور شريط مصور أمام مصدر ضوء وعدسة، مع توقف كل صورة لحظة قصيرة أمام الفتحة قبل أن تنتقل الصورة التالية. أدى تطور هذه الآلة إلى انتشار السينما بوصفها وسيلة للترفيه والتعليم والإعلان وتسجيل الأحداث، لأنها جعلت المشاهد يرى الحركة والحياة لا الصورة الجامدة وحدها.

آلة التصوير جهاز يستخدم لتسجيل الصور الثابتة أو المتحركة، وتقوم فكرته الأساسية على مرور الضوء المنعكس من المشهد عبر عدسة إلى سطح حساس أو وسيط تخزين، فتتكون الصورة. تطورت الآلة من الغرفة المظلمة المعروفة منذ دراسات البصريات القديمة إلى كاميرات خشبية وتجارب فوتوغرافية مبكرة، ثم إلى كاميرات الأفلام التي شاع استخدامها بفضل تبسيط التصميم وتيسير التصوير للجمهور. تعتمد الكاميرا على عناصر مثل العدسة والغالق والحدقة ومنظار الرؤية وآلية تقديم الفيلم أو التخزين الرقمي. ومع ظهور الكاميرات الفورية والرقمية والهواتف المحمولة، أصبحت آلة التصوير وسيلة يومية للتوثيق والاتصال والتعبير البصري، وانتقلت من أداة تقنية متخصصة إلى جزء من الحياة الحديثة.

مبرهنة النقطة الثابتة: في التحليل، مبرهنة النقطة الثابتة تنص على أن دالة F تمتلك نقطة ثابتة x بحيث F(x)=x على الأقل عندما تتحقق شروط معينة تتعلق بخواص F (مثل الاستمرارية أو التقارب التعاقدي أو شروط مساحة القيم)، وتُعبَّر هذه الشروط بوضوح في صيغ المبرهنات الخاصة.