مبرهنة الألوان الأربعة تنص على أنه يمكن تلوين أي سطح مستوي مقسّم إلى مناطق بأربعة ألوان على الأكثر بحيث لا تشترك منطقتان متجاورتان في نفس اللون إذا تشاركا حدًا. تتحول المسألة إلى تلوين مخطط مستوي بربط كل منطقة برأس؛ يكفي ثلاثة ألوان في حالات محيط زوجي، ويُستخدم اللون الرابع عند تعارض قمة مع ثلاثة جيران ملونين.

يمكن استخدام مبرهنة دي بروين–إردوش لتوسيع مبرهنة الألوان الأربعة من الرسوم البيانية المستوية المنتهية إلى الرسوم البيانية المستوية التي تضم عدداً لا نهائياً من الرؤوس، إذ تتيح هذه النتيجة نقل خاصية التلوين من الحالة المحدودة إلى الحالة غير المنتهية ضمن الإطار نفسه من الرسوم المستوية. ويجعل ذلك المبرهنة أداة نظرية مهمة في فهم كيف يمكن تعميم خصائص التلوين المعروفة في الرسوم المنتهية على بنى أكثر اتساعاً دون الخروج عن الفكرة الأصلية للمسألة.

مبرهنة كايزي تنص على أنَّ لأربع دوائر O1,O2,O3,O4 غير متقاطعة داخل دائرة أكبر O وتلامسها على الترتيب، إذا دل t_ij على طول المماس المشترك الخارجي بين الدائرتين ذات المراكز O_i وO_j فإن t_12·t_34 + t_14·t_23 = t_13·t_24، والحالة المنعدمة تعطي مبرهنة بطليموس، والعكس صحيح فوجود أربع دوائر تحقق العلاقة يستلزم دائرة تمسها جميعاً.

مبرهنة مونج تنص على أنّ لأي ثلاث دوائر في المستوي لا تقع إحداها بالكامل داخل الأخرى، تكون نقاط التقاء كل زوج من المماسات المشتركة الخارجية لهذه الدوائر ثلاثياً على مستقيم واحد (أي متسامتة). يُبرهن ذلك باستخدام مبرهنة ديزارغ أو مينيلاوس عبر حساب النِّسب المرتبطة بأشعة الدوائر.

مبرهنة برون في نظرية الأعداد تنص على أنّ مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم ∑_{p: p+٢∈P}(1/p+١/(p+٢)) يتقارب إلى قيمة ثابتة تُسمى ثابتة برون ويرمز إليها B2، ولها أهمية تاريخية في تطور نظرية الغرابيل.