الإنترنت شبكة عالمية من الشبكات الحاسوبية تربط ملايين الأجهزة والمؤسسات عبر بروتوكولات موحدة، وتتيح تبادل البيانات والخدمات والمعلومات على نطاق محلي وعالمي. تتنوع تقنياتها بين الأسلاك والألياف والوصلات اللاسلكية، وتدار بصورة لامركزية لا تعتمد على سلطة واحدة في تشغيلها. حملت الإنترنت خدمات مثل الويب والبريد والتواصل والوسائط والتجارة والتعليم، وأصبحت بنية أساسية للحياة الحديثة والاقتصاد والمعرفة.

شبكة الحواسيب نظام يربط بين حاسوبين أو أكثر لتبادل البيانات والموارد والخدمات، مثل الملفات والطابعات والإنترنت وقواعد البيانات. قد تكون الشبكة محلية داخل مؤسسة أو منزل، أو واسعة تربط مدناً ودولاً، أو عالمية كما في الإنترنت. تعتمد على أجهزة اتصال وبروتوكولات وعناوين وأنظمة أمنية تسمح بنقل المعلومات وتنظيمها. غيرت الشبكات طبيعة العمل والتعليم والتجارة والاتصال، لأنها جعلت البيانات مشتركة وقابلة للوصول عن بعد. تشمل تحدياتها الحماية من الاختراق، وإدارة المرور، وضمان الاعتمادية والخصوصية.

التلغراف الكهربائي نظام اتصال مبكر مهّد لقيام شبكة عالمية لتبادل الرسائل، وجاء نتيجة تراكم اختراعات وتجارب كهربائية بدأت بالبطارية التي وفرت أساس استخدام الكهرباء عملياً، ثم اكتشاف الكهرومغناطيسية وإثبات إمكان توظيفها في نقل الإشارات. اكتمل التطور مع صمويل مورس الذي ابتكر طريقة تعتمد على نبضات كهربائية قصيرة وطويلة تمثل حروفاً ورسائل، فتمكن من إنشاء خط تلغرافي بين واشنطن وبالتيمور وأطلق مرحلة جديدة في الاتصالات البعيدة. انتشر نظام مورس بسرعة، ثم طوره مهندسون آخرون لزيادة سرعة نقل المعلومات، وكان من بينهم بودو الذي استفاد من مبدأ تقسيم الوقت. ومع توسع السكك الحديدية والثورة الصناعية، أصبح التلغراف أداة أساسية لتنسيق النقل والتجارة والسياسة، وسرّع تبادل الأخبار والمعلومات بين المدن والدول.

الهاتف المصرفي خدمة تقدمها المصارف والمؤسسات المالية لتمكين العملاء من إجراء معاملات مالية عبر الهاتف دون زيارة الفرع أو الصراف الآلي، وتشمل الاطلاع على الرصيد والحركات، دفع الفواتير وسداد البطاقات والأقساط، إدارة المستفيدين وتحويل الأموال وتفعيل أو إيقاف البطاقات، مما يتيح الوصول إلى الخدمات على مدار الساعة.

متطابقة فاندرموند هي علاقة في التوافقيات تربط المعاملات الثنائية بحيث { {m+n \choose r}=\sum_{k=٠}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k} }، حيث r و m و n أعداد صحيحة؛ تستنتج من تطوير (١+x)^{m+n} ومقارنة معاملات x^{r}، وتعمم بصيغة شو–فانديرموند للقيم غير الصحيحة باستخدام التعريف العام للمعامل الثنائي {z \choose k}=z(z-1)⋯(z-k+١)/k.