مبرهنة فيثاغورس قاعدة أساسية في الهندسة الإقليدية، تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحيطين بالزاوية القائمة. تتيح المبرهنة حساب طول ضلع مجهول إذا عرف طولا الضلعين الآخرين، كما أن عكسها يستخدم للتحقق من كون المثلث قائماً. عرفت خواصها في حضارات قديمة مثل مصر وبابل والصين والهند، ثم صيغت وبرهنت في التراث اليوناني ونسبت إلى فيثاغورس ومدرسته. تعد من أكثر المبرهنات شهرةً وتنوعاً في البراهين، ولها تطبيقات واسعة في القياس والبناء والرياضيات والعلوم.

فيثاغورس فيلسوف ورياضي يوناني قديم، اشتهر باسمه في نظرية المثلث القائم وبمدرسة جمعت بين الرياضيات والموسيقى والفلسفة والتصورات الروحية. رأت مدرسته في العدد جوهر النظام الكوني، وربطت النسب الرياضية بالانسجام الموسيقي وببنية العالم. يصعب فصل التاريخ عن الأسطورة في سيرته، لكن أثره في الرياضيات والفكر الغربي عميق. يمثل فيثاغورس لحظة مبكرة جعلت الرياضيات طريقاً لفهم الكون لا مجرد أداة حساب.

فيثاغورس فيلسوف وعالم رياضيات وفلك إغريقي، أسس مع أتباعه مدرسة فلسفية ودينية عُرفت بالمدرسة الفيثاغورية في كروتون بإيطاليا. اقتنع بأن الأرض كرة مجردة في مركز الكون، وقدّم عدداً من الاكتشافات الرياضية الأساسية، من أشهرها أن مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، وهي النظرية المعروفة باسمه، كما رأى أن مجموع زوايا المثلث يساوي مجموع زاويتين قائمتين، وأن للأعداد الصماء وجوداً. وُلد في اليونان نحو عام ٥٧٠ قبل الميلاد، وتوفي نحو عام ٤٩٥ قبل الميلاد، ومن أشهر ما ارتبط به النظرية الفيثاغورية، والرنين الفيثاغوري، والموسيقى الكونية، والمعتقد الذهبي. كانت النجمة الخماسية المسماة «الصحة» رمزاً دينياً مهماً عند أتباعه، واشتهر كثيراً بنظريته الرياضية. وقد سُمّيت حفرة على القمر يبلغ قطرها نحو ١٤٢ كيلومتراً باسمه، وكان لأفكاره أثر واضح في أفلاطون، كما أدرك أن نجمتي الصباح والمساء هما الجرم نفسه، وهو كوكب فينوس، وكان يرى أن آراءه العلمية والدينية مترابطة ولا يفصل بينها شيء.

نظرية الانجراف القاري نظرية جيولوجية وضعها ألفرد فجنر، وتفترض أن القارات كانت في الماضي كتلة واحدة كبيرة ثم انقسمت وتحركت تدريجياً حتى اتخذت مواقعها الحالية. استندت النظرية إلى تشابه حدود القارات، وتطابق الصخور والأحافير على جانبي المحيط الأطلسي، ووجود دلائل مناخية ومغناطيسية تشير إلى انتقال القارات عبر الزمن الجيولوجي. لم تلق النظرية قبولاً واسعاً في بدايتها بسبب غياب تفسير مقنع للقوى التي تحرك القارات، ثم دعمتها لاحقاً دراسات قاع المحيط والمغناطيسية القديمة واتساع قاع البحر. أصبحت هذه الأفكار جزءاً من نظرية الصفائح التكتونية التي تفسر حركة القشرة الأرضية وبناء الجبال والمحيطات.

نظرية المبادئ الإدارية نظرية وضعها هنري فايول لتحديد وظائف الإدارة ومبادئها العامة. عرف فايول الإدارة بأنها تنبؤ وتخطيط وإصدار أوامر وتنسيق ورقابة، واقترح مبادئ مثل التخصص والسلطة والمسؤولية والانضباط ووحدة الأمر والتنسيق. أثرت هذه النظرية في الإدارة الكلاسيكية لأنها رأت المنظمة جهازاً يحتاج إلى ترتيب واضح للعلاقات والمهام. تمثل نظرية فايول محاولة مبكرة لتحويل الخبرة الإدارية إلى قواعد قابلة للتعليم والتطبيق.

يمكن إثبات نظرية فيثاغورس من دون اللجوء إلى الكلمات، بالاعتماد على الرسوم الهندسية وحدها، إذ تقوم الفكرة على ترتيب المربعات والمثلثات بطريقة تُظهر بصرياً أن مساحة المربع المقام على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين المقامين على الضلعين القائمين. ويُعد هذا النوع من البرهان مثالاً واضحاً على قدرة الشكل الهندسي على تقديم الدليل مباشرة، من غير حاجة إلى شرح لفظي، ما يجعل النظرية من أشهر النتائج التي أمكن توضيحها بصرياً في الرياضيات.

وجدت عالمة الغدد العصبية كاثرين وولي أدلة على لدونة الدماغ باستخدام تقنية وُصفت لأول مرة عام ١٨٧٣، وهو ما أتاح لها الاستدلال على أن البنية العصبية ليست ثابتة على نحو مطلق، بل يمكن أن تُظهر قدراً من التغير والتكيف وفق المنهج المستخدم في البحث. وتكتسب هذه النتيجة أهميتها من كونها تربط بين أداة علمية قديمة واستنتاج حديث يتعلق بمرونة الدماغ وقدرته على التحول.

وُجدت أدلة على حدوث التكوّن النوعي عبر التعزيز في طيف واسع من الكائنات الحية، وهو نمط تطوري تتقوى فيه العزلة التكاثرية بين الجماعات عندما يؤدي التهجين إلى إنتاج نسل أقل ملاءمة. وتدل هذه الأدلة على أن الانتخاب الطبيعي قد يدفع أفراد الجماعات المتجاورة إلى تجنّب التزاوج المتبادل، بما يحدّ من اختلاط الجينات ويساعد على ترسيخ الفروق بين الأنواع أو الجماعات الساعية إلى الانفصال التطوري.

تعرّضت أربعة تماثيل عند ضريح “يوي فَي” في مدينة هانغتشو الصينية، منها تمثالان بارزان في الموضع نفسه، لفعلٍ طقسيّ مهين تمثل في تلويثها عمداً بالفضلات على مدى قرون. ويُنظر إلى هذا السلوك بوصفه امتداداً لعداء تاريخي تجاه “يوي فَي”، وهو قائد عسكري من أسرة سونغ الجنوبية، إذ تحوّل الضريح إلى موضعٍ تتقاطع فيه الذاكرة الشعبية مع مظاهر الانتقام الرمزي، ما جعل تلك التماثيل شاهداً على ممارسات متكررة استمرت زمناً طويلاً.

تظهر بلاطة فيثاغورس، وهي نمط من المربعات بأحجام مختلفة يمكن استخدامه لإثبات نظرية فيثاغورس، في لوحة للفنان الهولندي يعقوب أوخترفلت، أحد رسامي العصر الذهبي الهولندي. ويكشف حضور هذا النمط الهندسي في العمل الفني عن تداخل واضح بين التصوير التشكيلي والمعرفة الرياضية، إذ تتحول الأشكال البصرية إلى وسيلة لإبراز فكرة هندسية ذات دلالة تعليمية وعلمية.