حدسية كاتالان تنص على أن الأعداد الصحيحة الموجبة لا توجد بينها قوتان صحيحتان متتاليتان إلا الاستثناء الوحيد ٢^٣ = ٨ و٣^٢ = ٩؛ وقد حُدثت عام ١٨٤٤ بواسطة أوغين شارل كاتالان وبُرِّهنت لاحقًا مما رفعها إلى مبرهنة تُعرف بمبرهنة ميخائيليتشو.

مبرهنة دركليه حول المتتاليات الحسابية تنص على أن لكل عددين صحيحين a وq أوليين مع بعضهما، توجد لا نهاية للاحتمالات الأولية من الشكل qn + a بحيث n عدد طبيعي; بعبارة أخرى كل تقدم حسابي a + kq حيث gcd(a,q)=١ يحتوي على عدد لانهائي من الأعداد الأولية، وقد برهنها دركليه عام ١٨٣٧ وتربطها نظرية الأعداد التحليلية بدوال لامبدا وغيرها.

حدسية ميرتنز تعرّف دالة ميرتنز M(n)=∑_{١≤k≤n}μ(k) حيث μ دالة موبيوس، وكانت تنص على أن |M(n)|<√n لجميع n؛ هذه الحدسية وُضعت عام ١٨٩٧ وثبت خطؤها عام ١٩٨٥، مع نتائج تظهر أن liminf m(n)<−١.٠٠٩ وlimsup m(n)>١.٠٦، وأن عدم صحتها أغلق مسارًا محتملاً نحو برهان فرضية ريمان.

مبرهنة جرين تاو تنص على أن متتالية الأعداد الأولية تحتوي على متتاليات حسابية بطول أي عدد طبيعي، أي توجد للأعداد الأولية مقدمات حسابية من الطول k لأي k∈N. المبرهنة أثبتها بن جرين وتيرنس تاو في عام ٢٠٠٤ وتربط نظرية الأعداد بطرق التحليل المركب ونظرية التركيبات.

نظرية الأعداد فرع من الرياضيات يدرس خصائص الأعداد الصحيحة وعلاقاتها، مثل القسمة والأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل. تضم النظرية مسائل سهلة الصياغة عميقة الحل، وتتفرع إلى مجالات جبرية وتحليلية وهندسية وحاسوبية. ارتبطت قديماً بالتأمل الرياضي الخالص، ثم أصبحت أساساً لتطبيقات حديثة في التشفير والحوسبة والأمن الرقمي. تمثل نظرية الأعداد علماً يكشف أن أبسط الأعداد يمكن أن تحمل أكثر الأسئلة الرياضية عمقاً.