نظرية الزمر الهندسية Geometric group theory تدرس الزمر بوصفها كائنات هندسية أو عبر تمثيلها عمليات هندسية، حيث تكون زمرة عناصرها تحولات هندسية مثل تدويرات الشكل المنتظم حول محاور أو أقطار، والعملية الثنائية تركيب التحويلات؛ وتركز النظرية على خصائص الزمرة الناتجة عن هذه البُنى الهندسية وعلاقاتها بفروع الطوبولوجيا والهندسة والجبر التجريدي.

زمرة غير أبيلية هي زمرة (G, ∗) في نظرية الزمر تحتوي على عناصرين a وb على الأقل بحيث لا يتحقق القانون التبادلي، أي a ∗ b ≠ b ∗ a، وبذلك تختلف بنية العمليات فيها عن الزمر الأبيلية حيث تكون جميع العناصر قابلة للتبادل.

مبرهنة برنسايد: مبرهنة في نظرية الزمر تنص على أن زمرة منتهية G رتبتها p^a q^b حيث p و q عددان أوليان وa وb عددان طبيعيان تكون قابلة للحلحلة، أي تمتلك سلسلة تصاعدية من الزمر الجزئية تكون كل خارجية بسيطة فيها زمرة أبيلية.

مسرد مصطلحات نظرية الزمر يعرّف مصطلحات أساسية مثل زمرة أبيلية وتعني زمرة تبدّل عناصرها، وزمرة خارج القسمة وهي مجموعة المعادلات الناتجة عن قسم، والزمرة المتماثلة وهي مجموعة جميع التبديلات على مجموعة، وعلاقة التكافؤ التي تقسم مجموعة إلى صفوف تكافؤ، والمبدل الرياضي الذي يصف ترتيب تبديلات، والمجموعة المولدة لزمرة وهي أصغر زمرة تحتوي مجموعة عناصر معينة.

مبرهنة كوشي في نظرية الزمر تنص على أن زمرة منتهية G إذا كان p عددًا أوليًا يقسم رتبة G فثمّة عنصر x≠e في G يحقق x^p = e، أي يوجد عنصر رتبته p؛ تُستخدم المبرهنة لإثبات وجود زمر سيلو p وتُستعمل كخطوة أساسية في تحليل تركيب الزمر المنتهية.