مبرهنة الألوان الأربعة مبرهنة في الرياضيات تنص على أن أي خريطة مستوية يمكن تلوين مناطقها بأربعة ألوان فقط بحيث لا تشترك منطقتان متجاورتان في اللون نفسه إذا كان بينهما حد مشترك. ترتبط المبرهنة بتلوين المخططات المستوية، إذ تمثل كل منطقة برأس في مخطط، وتصل الرؤوس بخطوط عندما تكون المناطق متجاورة. نشأت الفكرة من مسألة خرائطية بسيطة لكنها تحولت إلى واحدة من أشهر مسائل الرياضيات، لأنها احتاجت إلى برهان طويل ومعقد اعتمد في صورته الحديثة على الحاسوب. وتوضح المبرهنة العلاقة بين الهندسة والتوافقيات ونظرية المخططات.

مبرهنة الكاشي مبرهنة في الجبر ونظرية الزمر تنص في أحد أشهر صيغها على أن الزمرة المنتهية التي يقسم عدد أولي رتبتها تحتوي عنصراً رتبته ذلك العدد الأولي. تعد المبرهنة خطوة أساسية في فهم البنية الداخلية للزمر المنتهية، وتربط بين العدد الكلي للعناصر ووجود عناصر ذات رتب محددة. وتظهر أهميتها في بناء نظرية الزمر وتطبيقاتها في الجبر والتماثل والرياضيات المجردة.

مبرهنة الاستعيان، أو مبرهنة أخذ العينات، قاعدة أساسية في نظرية الإشارات والاتصالات الرقمية، تبيّن شروط تحويل الإشارة المستمرة إلى عينات رقمية دون فقدان المعلومات الأساسية. ترتبط غالباً باسم شانون ونايكويست، وتقوم على أن معدل أخذ العينات يجب أن يكون كافياً لتمثيل أعلى تردد في الإشارة. بفضلها أمكن تطوير الصوت والصورة والاتصالات الرقمية ومعالجة البيانات الحديثة.

مبرهنة ڤيڤياني مبرهنة هندسية تنص على أن مجموع المسافات العمودية من أي نقطة داخل مثلث متساوي الأضلاع إلى أضلاعه يساوي ارتفاع ذلك المثلث. يعتمد برهانها البسيط على تقسيم المثلث إلى ثلاثة مثلثات تشترك في طول الضلع، ثم مساواة مجموع مساحاتها بمساحة المثلث الأصلي. يمكن تعميم الفكرة على بعض المضلعات المنتظمة أو ذات الخصائص المتوازنة. تمثل المبرهنة مثالاً جميلاً على علاقة المساحة بالمسافة داخل الأشكال الهندسية المتناظرة.

مبرهنة أويلر للدوال المتجانسة مبرهنة رياضية ارتبطت بليونارد أويلر، وتستخدم في الاقتصاد لوصف حالات معينة لا تحقق فيها المنشأة ربحاً ولا خسارة عند تحقق شروط محددة. تعرف أيضاً باسم مبرهنة أويلر للدالة المتجانسة، وتعد أداة في تحليل العلاقات الرياضية والاقتصادية التي تعتمد على التجانس.

يُعد ناريندرا كومار أحد المشاركين في تطوير معادلة «دوروخوف-ميلّو-بيريرا-كومار»، وهي نظرية تتناول التوصيلية متعددة القنوات بالاعتماد على مبدأ الإنتروبيا العظمى. وتُستخدم هذه الصياغة في وصف انتقال التيار عبر أكثر من مسار داخل النظام، بما يتيح فهم السلوك الكهربائي في البيئات التي لا تخضع لقناة واحدة فقط، بل تتوزع فيها الحركة بين قنوات عدة وفق إطار رياضي واحد.

اضطر الممثلان «مانوج كومار» و«راج كومار» إلى اللجوء إلى أحكام «المحكمة العليا في دلهي» للحصول على التكريم الرياضي المعروف باسم «جائزة أرجونا» خلال عقد ٢٠١٠، بعد أن أُثير خلاف حول استحقاقهما لهذا الوسام. وتُعد هذه الواقعة مثالاً على تعقّد إجراءات منح الأوسمة أحياناً، حين يتحول الاعتراف الرسمي إلى مسألة قانونية تتطلب الفصل القضائي قبل إقرار الجائزة.

يمكن استخدام مبرهنة دي بروين–إردوش لتوسيع مبرهنة الألوان الأربعة من الرسوم البيانية المستوية المنتهية إلى الرسوم البيانية المستوية التي تضم عدداً لا نهائياً من الرؤوس، إذ تتيح هذه النتيجة نقل خاصية التلوين من الحالة المحدودة إلى الحالة غير المنتهية ضمن الإطار نفسه من الرسوم المستوية. ويجعل ذلك المبرهنة أداة نظرية مهمة في فهم كيف يمكن تعميم خصائص التلوين المعروفة في الرسوم المنتهية على بنى أكثر اتساعاً دون الخروج عن الفكرة الأصلية للمسألة.

ترجمت الكاتبة الهندية ليلا ماجومدار، المعروفة بكتاباتها الموجهة للأطفال، عمل “جوليفرز ترافلز” لجوناثان سويفت و”ذا أولد مان أند ذا سي” لإرنست همنغواي إلى اللغة البنغالية، فأسهمت بذلك في إتاحة اثنين من أشهر الأعمال الأدبية العالمية لقراء البنغالية بصياغة لغوية قريبة من سياقهم الثقافي.

طوّر أنيل كومار ماندال بروتوكولاً جراحياً بديلاً لعلاج الزرق لدى الأطفال، وهو ما أتاح مقاربة مختلفة للتعامل مع هذا المرض العيني في سن مبكرة، حين تكون السيطرة على ارتفاع ضغط العين أكثر حساسية وتتطلب إجراءات دقيقة تراعي خصوصية الحالة العمرية. ويُعد هذا النوع من البروتوكولات مهماً لأنه يهدف إلى تحسين فرص العلاج وتقليل المضاعفات المرتبطة بالتدخل الجراحي عند الأطفال.