البرمجة الخطية أسلوب رياضي لاتخاذ القرار يهدف إلى تعظيم أو تقليل دالة هدف تحت قيود خطية محددة. تستخدم في الاقتصاد والإدارة والهندسة والإنتاج والنقل لتوزيع الموارد المحدودة بأفضل صورة ممكنة. تعد جزءاً من البرمجة الرياضية وبحوث العمليات، وتوفر نماذج قابلة للحل والتحليل عندما تكون العلاقات خطية. تمثل البرمجة الخطية لغة عملية لتحويل المشكلات الإدارية والاقتصادية إلى مسائل رياضية منظمة.

مبرهنة فيثاغورس قاعدة أساسية في الهندسة الإقليدية، تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحيطين بالزاوية القائمة. تتيح المبرهنة حساب طول ضلع مجهول إذا عرف طولا الضلعين الآخرين، كما أن عكسها يستخدم للتحقق من كون المثلث قائماً. عرفت خواصها في حضارات قديمة مثل مصر وبابل والصين والهند، ثم صيغت وبرهنت في التراث اليوناني ونسبت إلى فيثاغورس ومدرسته. تعد من أكثر المبرهنات شهرةً وتنوعاً في البراهين، ولها تطبيقات واسعة في القياس والبناء والرياضيات والعلوم.

فيثاغورس فيلسوف ورياضي يوناني قديم، اشتهر باسمه في نظرية المثلث القائم وبمدرسة جمعت بين الرياضيات والموسيقى والفلسفة والتصورات الروحية. رأت مدرسته في العدد جوهر النظام الكوني، وربطت النسب الرياضية بالانسجام الموسيقي وببنية العالم. يصعب فصل التاريخ عن الأسطورة في سيرته، لكن أثره في الرياضيات والفكر الغربي عميق. يمثل فيثاغورس لحظة مبكرة جعلت الرياضيات طريقاً لفهم الكون لا مجرد أداة حساب.

المتحول في البرمجة اسم رمزي يشير إلى موقع في الذاكرة أو قيمة يمكن للبرنامج تخزينها وتغييرها أثناء التنفيذ. يستخدم لتمثيل الأعداد والنصوص والكائنات والحالات المختلفة، وتختلف قواعد تعريفه وأنواعه بحسب لغة البرمجة. يسمح المتحول للبرنامج بأن يتعامل مع بيانات متغيرة بدلاً من قيم ثابتة، فيصير الحساب والتفاعل والتخزين ممكناً. يمثل المتحول أحد أبسط مفاهيم البرمجة وأكثرها جوهرية، لأنه يجعل التعليمات العامة قادرة على العمل على بيانات متبدلة في كل تشغيل.

مكتبات العصور الوسطى امتداد لتاريخ طويل بدأ مع الألواح الطينية والبرديات القديمة ثم تطور عبر المخطوطات في الأديرة والقصور والمدارس. اعتمدت هذه المكتبات على النسخ اليدوي والحفظ في خزائن وكتالوجات أولية، وكانت المعرفة فيها مرتبطة بالمؤسسة الدينية أو البلاط أو المدن العلمية. حفظت نصوصاً دينية وفلسفية وطبية وأدبية، وأسهمت في نقل التراث القديم إلى العصور اللاحقة. وتمثل مكتبات العصور الوسطى ذاكرة مكتوبة صنعت استمرار الثقافة قبل الطباعة.

تُعدّ حشرة منّ تجعّد أوراق البرقوق وحشرة منّ الشوك من الآفات التي تعيش على عائلين نباتيين خلال دورة حياتها؛ إذ تمضي جزءاً من السنة على أشجار الفاكهة ذات النوى، مثل البرقوق وغيره من الثمار الحجرية، ثم تنتقل في جزء آخر إلى نباتات أخرى مختلفة لتكمل تغذيتها وتكاثرها. ويُظهر هذا النمط من التناوب بين العائلين قدرة هاتين الحشرتين على التكيّف مع بيئات نباتية متعددة، وهو ما يجعل مكافحتهما أكثر تعقيداً مقارنة بالأنواع التي تلازم عائلاً واحداً.

تقضي حشرة منّ الورد وحشرة منّ الورد-الحبوب فصل الشتاء على شجيرات الورد، غير أنّ النوع الثاني يتشتت في فصل الصيف إلى الأعشاب ومحاصيل الحبوب. وتُظهر هذه السمة اختلافاً في سلوك النوعين خلال العام؛ إذ يبقى كلاهما مرتبطاً بالورد في مرحلة السكون البارد، ثم ينتقل أحدهما لاحقاً إلى نباتات أخرى عندما ترتفع درجات الحرارة وتتوفر له بيئات غذائية جديدة.

تعرّضت أربعة تماثيل عند ضريح “يوي فَي” في مدينة هانغتشو الصينية، منها تمثالان بارزان في الموضع نفسه، لفعلٍ طقسيّ مهين تمثل في تلويثها عمداً بالفضلات على مدى قرون. ويُنظر إلى هذا السلوك بوصفه امتداداً لعداء تاريخي تجاه “يوي فَي”، وهو قائد عسكري من أسرة سونغ الجنوبية، إذ تحوّل الضريح إلى موضعٍ تتقاطع فيه الذاكرة الشعبية مع مظاهر الانتقام الرمزي، ما جعل تلك التماثيل شاهداً على ممارسات متكررة استمرت زمناً طويلاً.

نظرية فيثاغورس وُجدت لها أدلة على استخدام مبكر في بلاد الرافدين، وذلك على ألواح طينية ولفائف بردي، قبل أن يتبناها الرياضي اليوناني فيثاغورس بقرون عديدة. وهذا يدل على أن معرفة العلاقة التي تصفها النظرية كانت متداولة في الحضارات القديمة قبل شهرتها اللاحقة في التقليد اليوناني.

تظهر بلاطة فيثاغورس، وهي نمط من المربعات بأحجام مختلفة يمكن استخدامه لإثبات نظرية فيثاغورس، في لوحة للفنان الهولندي يعقوب أوخترفلت، أحد رسامي العصر الذهبي الهولندي. ويكشف حضور هذا النمط الهندسي في العمل الفني عن تداخل واضح بين التصوير التشكيلي والمعرفة الرياضية، إذ تتحول الأشكال البصرية إلى وسيلة لإبراز فكرة هندسية ذات دلالة تعليمية وعلمية.