دائرة النقاط التسع هي دائرة مرتبطة بأي مثلث تمر بتسع نقاط مميزة: منتصف كل ضلع، ونقطة تقاطع كل ارتفاع مع الضلع المقام عليه، ونقطة منتصف كل قطعة من الارتفاع بين رأس المثلث ومركز تقاطع الارتفاعات؛ لثلثات حادة تقع ست نقاط داخل المثلث، أما في المنفرجة فبعض تقاطعات الارتفاعات تقع خارج المثلث لكنها تبقى على نفس الدائرة.

مثلث بروكار هو مثلث يُبنى داخل مثلث قائم التداخل بواسطة تقاطع أزواج من الأضلاع الممتدة من رؤوس المثلث إلى نقاط بروكار المقابلة لها؛ يُسمى أيضاً مثلث بروكار الأول ويمكن تكرار البناء داخل مثلث بروكار نفسه، ويُحاط بدائرة تُسمى دائرة بروكار.

نقطة بروكار في مثلث ABC هي نقطة P وحيدة تجعل الخطوط AP, BP, CP تشكل زوايا متساوية ω مع أضلاع المثلث على الترتيب c, a, b بحيث ∠PAB=∠PBC=∠PCA؛ تسمى ω زاوية بروكار وتحقق cot ω = cot α + cot β + cot γ. توجد نقطة بروكار ثانية Q تحقق زوايا متساوية مع الأضلاع بترتيب مختلف ∠QCB=∠QBA=∠QAC.

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها ١ في المستوى الإقليدي مركزة عند نقطة الأصل، تُستخدم في حساب المثلثات بتعيين لكل نقطة (x,y) عليها زاوية t بحيث cos(t)=x وsin(t)=y، وتحقق معادلة x^٢+y^٢=١ وبالتالي cos^٢(t)+sin^٢(t)=١، وتُظهر دورية الجيب وجيب التمام بطرائق cos(t)=cos(٢πk+t) وsin(t)=sin(٢πk+t) لأي عدد صحيح k.

الدائرة الساعية أو دائرة الميل لجرم سماوي هي الدائرة العظمى التي تصل بين الجرم والأقطاب السماوية وتكون عمودية على خط الاستواء السماوي، وتختلف من جرم لآخر ويستخدم الفلكيون تقاطعها مع الكرة السماوية كنقطة زاوية مرجعية في المستويات المرجعية لتقسيم السماء إلى دوائر عمودية وأفقية مثل خطوط الزوال والمدارات اليومية.