حلقة غير تبادلية هي حلقة في الجبر التجريدي تُعرف بأنها بنية جبرية لها عمليتا جمع وضرب، بحيث لا تُفترض خاصية التبادلية لعملية الضرب؛ أي قد يوجد عناصر a و b حيث ab ≠ ba. من الأمثلة البسيطة حلقة مصفوفات الأعداد الحقيقية تحت الجمع والضرب، التي عامةً لا تحقق التبادلية في الضرب.

مجال تكاملي هو حلقة تبادلية غير صفرية تخلو من مقسّمات الصفر: حاصل ضرب عنصرين غير صفريين لا يساوي الصفر. يُعد المثال التقليدي مجموعة الأعداد الصحيحة Z تحت الجمع والضرب، وتُستخدم هذه البنية في الجبر لفهم خواص الضرب والانقسام دون حدوث تعارضات بسبب مقسّمات الصفر.

حقل مرتب هو حقل مزود بترتيب كلي يطابق عمليات الجمع والضرب بحيث إذا a<b فـ a+c<b+c ولأي c>٠ يكون a·c<b·c، وأمثلة نمطية هي الأعداد الجذرية والحقيقية، وكل حقل جزئي من حقل مرتب يرث ترتيبه ويصبح حقلًا مرتبًا أيضًا.

عنصر أولي في حلقة تبادلية R هو عنصر a≠٠ وغير قابل للعكس يولد مثاليًا أوليًّا، أي إذا قاسم a جداءً فَهو يقاسم أحد العوامل؛ هذا يختلف عن غير القابل للاختزال، فهما يتطابقان في مجالات التحليل الوحيد لكن يختلفان عمومًا، مثال Z[i√٥] حيث ٢ غير قابل للاختزال لكنه ليس أوليًا لأنّه يقسم ٦=(١−i√٥)(١+i√٥) دون أن يقسم أي عامل.

دالة كثيرة الحدود هي تطبيق جبري من حلقة تبادلية إلى حلقة أو جسم تُعطى بصيغة متعددة الحدود f:x↦a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+⋯+a_1 x+a_0، حيث العناصر a_i معاملات في الحلقة، وتصف الدالة تركيبًا حدوديًا من حيث القوى الثابتة للمتغير x.