متعددة الحدود تعبير جبري يتكون من مجموع حدود تحتوي على معاملات ومتغيرات مرفوعة إلى أسس صحيحة غير سالبة. تظهر في الجبر والتحليل والهندسة ونمذجة الظواهر، وتتميز بسهولة الاشتقاق والتكامل والحساب مقارنة بدوال أكثر تعقيداً. يمكن أن تكون من درجة بسيطة أو عالية، ولجذورها ومعاملاتها خصائص مهمة. وتمثل متعددة الحدود لبنة أساسية في الرياضيات، لأنها تجمع بين البنية الجبرية والقدرة على تقريب الدوال وحل المسائل.

حلقة غير تبادلية هي حلقة في الجبر التجريدي تُعرف بأنها بنية جبرية لها عمليتا جمع وضرب، بحيث لا تُفترض خاصية التبادلية لعملية الضرب؛ أي قد يوجد عناصر a و b حيث ab ≠ ba. من الأمثلة البسيطة حلقة مصفوفات الأعداد الحقيقية تحت الجمع والضرب، التي عامةً لا تحقق التبادلية في الضرب.

حلقة مرتبة هي حلقة تبادلية R مزوَّدة بترتيب كلي ≤ بحيث يكون الترتيب متناغمًا مع الجمع والضرب: إذ يُحفظ عند إضافة نفس العنصر فلو كان a ≤ b فـ a+c ≤ b+c، كما يكون الضرب غير السالب مع عناصر غير سالبة فلو ٠ ≤ a و٠ ≤ b فـ ٠ ≤ ab.

حلقة متعددات الحدود هي حلقة تتكون من متعددات حدود في متغير واحد أو عدة متغيرات، حيث تنتمي معاملات هذه متعددات الحدود إلى حلقة تبادلية، غالبًا حقل K؛ في حالة متغير واحد تُكتب عناصر K[X] كتعابير p=p0+p1X+⋯+pmX^m مع pi∈K وpm≠٠، وتشارك هذه الحلقات خواص مهمة مع حلقة الأعداد الصحيحة وتظهر في نظرية الأعداد والجبر التبادلي والهندسة الجبرية.

عنصر أولي في حلقة تبادلية R هو عنصر a≠٠ وغير قابل للعكس يولد مثاليًا أوليًّا، أي إذا قاسم a جداءً فَهو يقاسم أحد العوامل؛ هذا يختلف عن غير القابل للاختزال، فهما يتطابقان في مجالات التحليل الوحيد لكن يختلفان عمومًا، مثال Z[i√٥] حيث ٢ غير قابل للاختزال لكنه ليس أوليًا لأنّه يقسم ٦=(١−i√٥)(١+i√٥) دون أن يقسم أي عامل.