دالة هيمل بلوه هي دالة متعددة المتغيرات تُستخدم كحالة اختبار في الإستمثال الخوارزمي، وتُعرَّف بالعلاقة f(x,y)=(x^٢+y-11)^٢+(x+y^٢-٧)^٢؛ لها قيمة عظمى موحدة عند (x,y)=(-٠.٢٧٠٨٤٥,-٠.٩٢٣٠٣٩) حيث f=١٨١.٦١٧، ولها أربع قيم صغرى متساوية بقيمة صفر عند (٣.٠,٢.٠),(-٢.٨٠٥١١٨,٣.١٣١٣١٢),(-٣.٧٧٩٣١٠,-٣.٢٨٣١٨٦),(٣.٥٨٤٤٢٨,-١.٨٤٨١٢٦).

دالة شيكل دالة متعددة الأبعاد ومستقرة استمراريًا تُستخدم كمسألة اختبار في استمثال الأمثل للتقنيات متعددة القمم. تُعرَّف على فضاء n الأبعاد بالصيغة f( x⃗ )=∑_{i=١}^{m}(c_i+∑_{j=١}^{n}(x_j−a_{ji})^٢)^{−١} حيث m عدد القمم وc_i وa_{ji} معلمات تحدد مواضع وشدة القمم، وتُعطى قيمة الدالة كمجموع المقلوبات لمربعات البُعد مضافًا إليها الثوابت c_i.

دالة متعددة المتغيرات الحقيقية هي دالة f معرفة على مجموعة A جزئية من R^n مع n>١ وتأخذ قيمًا في R؛ مجموعة التعريف A تكون جزءًا من الفضاء R^n والمدى جزء من R. في حالة متغيرين يُمثل رسمها البياني أو السطح G(f) في R^٣ كمجموعة النقاط (x,y,z) بحيث (x,y)∈A و z=f(x,y).

مبرهنة شفارز تنص على أن دالة متعددة المتغيرات قابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة فان المشتقة الجزئية الثانية الثنائية ∂²f(a):E×E→F خطية وتماثلية، وبالمقابل لمتغيرات حقيقية f قابلة للاشتقاق مرتين تكون مصفوفة هيسيان متماثلة عند تلك النقطة.

نقطة السرج هي نقطة حرجة لدالة متعددة المتغيرات حيث تساوي المشتقات الاتجاهية المتعامدة صفرًا لكنها ليست قيمة حدية محلية؛ تكون عندها الدالة منخفضة نسبيًا في اتجاه وتعلو في اتجاه آخر، كما في f(x,y)=x^٢+y^٣ عند (٠,٠)، وتبدو كنموذج سرج على السطح وحيث قد تتقاطع خطوط الكنتور، ويمكن تحديدها غالبًا عبر إشارة المشتق الأول دون الحاجة دومًا للمشتقة الثانية.