زمرة آبلية حرة هي زمرة أبيلية لها أساس، أي مجموعة عناصر مستقلة بحيث كل عنصر من الزمرة يُعبّر عنها بطريقة وحيدة كتركيبة خطية لمتجهات الأساس بمعاملات صحيحة. مثال نموذجي هو Z⊕Z بقاعدة {(١,٠),(٠,١)} حيث (٤,٣)=٤(١,٠)+٣(٠,١).

زمرة غير أبيلية هي زمرة (G, ∗) في نظرية الزمر تحتوي على عناصرين a وb على الأقل بحيث لا يتحقق القانون التبادلي، أي a ∗ b ≠ b ∗ a، وبذلك تختلف بنية العمليات فيها عن الزمر الأبيلية حيث تكون جميع العناصر قابلة للتبادل.

مسرد مصطلحات نظرية الزمر يعرّف مصطلحات أساسية مثل زمرة أبيلية وتعني زمرة تبدّل عناصرها، وزمرة خارج القسمة وهي مجموعة المعادلات الناتجة عن قسم، والزمرة المتماثلة وهي مجموعة جميع التبديلات على مجموعة، وعلاقة التكافؤ التي تقسم مجموعة إلى صفوف تكافؤ، والمبدل الرياضي الذي يصف ترتيب تبديلات، والمجموعة المولدة لزمرة وهي أصغر زمرة تحتوي مجموعة عناصر معينة.

نظرية الحلقات تدرس الحلقات؛ وهي بنى جبرية تُكوّن زمرة أبيلية (R,+) مزودة بعملية ثنائية * تكون تجميعية وتوزيعية على الجمع من الجانبين، بحيث تتحقق a*(b*c)=(a*b)*c وa*(b+c)=(a*b)+(a*c) و(a+b)*c=(a*c)+(b*c). كما تتناول النظرية أصنافًا خاصة من الحلقات مثل حلقات الزمر وحلقات القسمة، وتمثيلات الحلقات وعلاقاتها بفروع أخرى من الجبر التجريدي.

زمرة متناوبة A_n هي مجموعة التبديلات الزوجية على مجموعة منتهية ذات n عناصر، وتُعد زمرة جزئية من زمرة التبديلات S_n مكوَّنة من العناصر ذات الإشارة +١ فقط؛ تُستخدم لتصنيف التباديل بحسب الانقلابية وتُعتبر بنية مركزية في نظرية المجموعات والتباديل.